二，可以通过解析延拓，让ζ(s)在s小于1的地方也获得定义。

三，通过对ζ(s)的研究，可以对小于等于某个数的质数的个数，给出一个明确的表达式，在这个表达式中唯一未知的就是ζ(s)的零点的位置。

四，黎曼猜测ζ(s)的零点都位于某些地方。

由此可见，黎曼在欧拉ζ函数上的研究上，显然是比欧拉更进一步的。

他在加入解析延拓之后，使得ζ(s)在s小于1的地方获得定义。

由此，欧拉ζ函数也就升级成了黎曼ζ函数。

解析延拓又是什么呢？

解析延拓就是扩大一个函数的定义域，使得该函数在一些原本没有定义的地方也有了定义，而在原本有定义的地方还跟原来一样。

例如，在-1，1的区间里定义了一个函数y=x，它的函数图像是一条线段，从(-1，-1)连到(1，1)。将这条线段向两边延伸，而且可以延伸得任意远，这么一来，这个函数的定义域就从区间(-1，1)扩展到了整个数轴。

全体自然数之和等于-1/12的结果，正是黎曼在解析延拓的计算中得来的。

正确的表达方式应该是这样的，——ζ(-1)=-1/12。

黎曼将黎曼ζ函数变形之后，写出了由一个阶梯函数、两个对数积分函数和一个质数计量函数组成的等式，并将这个结果发表了名为《论小于给定数值的质数个数》的论文，等式左边的阶梯函数表示一个质数的n次方等于1/n个质数。

这意味着，这个函数是和质数的分布是相关的。

等式另一边，其中一个是对数积分函数，其自变量取的是黎曼ζ函数的非平凡零点。

从公式中不难看出，质数的全部信息都包含在黎曼ζ函数的非平凡零点之中。

黎曼ζ函数的非平凡零点的位置又在哪呢？

一个非平凡零点p的实部和虚部经常被记为σ和t，即p=σ+it。黎曼很快就证明了，p不可能出现在σ大于1或者σ小于0的地方。也就是说，非平凡零点只可能出现在0≤σ≤1的区域里。

在复平面上，这对应于一条宽度为1的竖直条带，人们把它称为临界带。

而根据黎曼ζ函数的形式，很容易发现零点对于实轴是对称的。

如果σ+it是一个零点，那么它的共轭复数σ-it也是一个零点。

因此，非平凡零点总是上下成对出现的。

再根据黎曼的函数方程，即ζ(s)与ζ(1-s)之间的联系，很容易发现非平凡零点对于σ=1/2这条竖线是对称的。

也就是说，如果σ+it是一个零点，那么1-σ+it也是一个零点。

黎曼计算了几个非平凡零点的位置，发现它们的实部都等于1/2。例如第一、二、三个非平凡零点，实部都等于1/2，而虚部分别约等于141347、210220和250109。

随后他就做出了一个大胆的猜想，——黎曼ζ函数所有的非平凡零点，实部都等于1/2。

而这，就是黎曼猜想。