欧拉乘积公式的推导过程，大学课本里还是有的，但又有多少人会自己推导一遍呢？

将公式直接拿来用就完事了！

经过田立心连比带画地将这个公式推导了一遍，许多人都豁然开朗了。

但还有不少人根本就不知道，这个公式的意义在哪？

欧拉乘积公式的意义在于，对全体质数的某些运算可以转移成对全体自然数的运算。这么一来，通过研究对自然数的求和Σnn-s，就有可能对质数获得更深刻的认识。

这个求和是非常重要的，所以它有一个专门的名称，——黎曼ζ函数。

这个函数明明是欧拉先提出来的，为什么会叫黎曼ζ函数呢？

田立心并没有立即给出答案，而是提出新的问题，“我们来到第二个部分，我来先问几个问题，两个自然数互质的概率是多少？什么是互质？n个自然数互质有没有通项公式呢？”

“自然数互质，意思就是它们没有共同的质因数，它们的最大公约数是1。例如2和3互质，2和15互质，但15和21不互质，因为15和21都以3作为质因数。由此得知，任意两个不同的质数是互质的，一个质数和一个不以它作为质因数的合数是互质的，1和任意自然数都是互质的。”田立心解释了互质的概念后，便利用欧拉乘积公式写下了两个自然数互质的数学表示方法，并一步步计算了下去。

计算的结果显示，得到n个自然数互质的概率正好等于所有自然数的倒数之和，这个数也称为调和级数——也就是1/ζ(s)。

特别说明，这个函数中的s是大于1的。

也就是说，随着s趋于无穷大，ζ(s)=Σnn-s当中只有第一项1不受影响，后面的项都迅速地趋近于0，所以ζ(s)会趋近于1。相应的，s个自然数互质的概率会趋近于100。

要是s=1呢？

ζ(1)会等于无穷大！

也就是说，调和级数是发散的！

但在这个推导过程中，是包含一个前提的，——就是ζ(s)是一个有限值，或者说ζ(s)是收敛的。

只有在这个前提之下，才能将它当成一个正常的数进行各种操作，例如乘以1-f(2)，消去所有包含2n的项。

假如ζ(s)是发散的，这样的操作就是毫无意义的，这会带来各种各样的错误结果。

被人调侃的全体自然数之和等于-1/12，便是这样计算出来的错误之一。

那么，全体自然数之和等于-1/12，又是怎么被人证明出来的呢？

这就要说到黎曼了。

黎曼是德国著名的数学家，数学王子高斯的弟子。

黎曼在二十八岁时发表了题为《论作为几何学基础的假设》的演说，就此创立了黎曼几何学。他将曲面本身看成一个独立的几何实体，而不是把它仅仅看作欧几里得空间中的一个几何实体，后来，爱因斯坦也是运用黎曼几何和张量分析工具，才创立了新的引力理论——广义相对论。

全体自然数之和等于-1/12，就是黎曼在运用欧拉乘积公式中偶然得到的副产品。

正是在这个错误的结果的启迪之下，黎曼对欧拉乘积公式的运用提出了四条脉络。

一，应该把ζ(s)中的自变量s理解为复数，而不只是实数。